کار در کلاس صفحه ۳۵ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
بر اساس ضابطه تابع پلکانی $\text{y} = \text{f}(\text{x})$، نمودار آن را رسم کنید. دامنه و برد آن را مشخص کنید.
$$\text{f}(\text{x}) = \begin{cases} 1 & \text{x} > 0 \\ 0 & \text{x} = 0 \\ -1 & \text{x} < 0 \end{cases}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۳۵ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تابع یک مثال عالی از **تابع علامت (Sign Function)** است که یک **تابع پله‌ای (Step Function)** می‌باشد. این تابع، علامت ورودی را نشان می‌دهد.
### ۱. رسم نمودار تابع چندضابطه‌ای
نمودار این تابع از سه بخش مجزا تشکیل شده است:
**الف) ضابطه اول: $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = 1}$ برای $\mathbf{\text{x} > 0}$**
* این یک **تابع ثابت** است. به ازای تمام مقادیر $\text{x}$ بزرگ‌تر از صفر (محور سمت راست)، خروجی همیشه **$\\text{y}=1$** است.
* **رسم:** یک نیم‌خط افقی در ارتفاع $\text{y}=1$ رسم می‌کنیم که از نقطهٔ $(\mathbf{0}, \mathbf{1})$ شروع می‌شود. چون $\text{x} > 0$ است، نقطهٔ $(\mathbf{0}, \mathbf{1})$ باید **توخالی (حفره)** باشد.
**ب) ضابطه دوم: $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = 0}$ برای $\mathbf{\text{x} = 0}$**
* فقط یک نقطه در مبدأ مختصات است.
* **رسم:** یک **نقطهٔ پر** در $(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ قرار می‌دهیم.
**ج) ضابطه سوم: $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = -1}$ برای $\mathbf{\text{x} < 0}$**
* این یک **تابع ثابت** است. به ازای تمام مقادیر $\text{x}$ کوچک‌تر از صفر (محور سمت چپ)، خروجی همیشه **$\\text{y}=-1$** است.
* **رسم:** یک نیم‌خط افقی در ارتفاع $\text{y}=-1$ رسم می‌کنیم که به نقطهٔ $(\mathbf{0}, \mathbf{-1})$ ختم می‌شود. چون $\text{x} < 0$ است، نقطهٔ $(\mathbf{0}, \mathbf{-1})$ باید **توخالی (حفره)** باشد.
### ۲. مشخص کردن دامنه و برد
**الف) دامنه ($\\text{D}_\text{f}$):**
دامنه، مجموعهٔ تمام مقادیر $\text{x}$ است که تابع برای آن‌ها تعریف شده است. با توجه به بازه‌های داده شده:
* $\text{x} > 0$ (اعداد مثبت)
* $\text{x} = 0$ (عدد صفر)
* $\text{x} < 0$ (اعداد منفی)
با اجتماع این سه بازه، تمام اعداد حقیقی پوشش داده می‌شوند.
$$\mathbf{\text{D}_{\text{f}} = \mathbb{R}}$$
**ب) برد ($\\text{R}_\text{f}$):**
برد، مجموعهٔ تمام مقادیر $\text{y}$ است که تابع به خود می‌گیرد (ارتفاعاتی که نمودار اشغال کرده است).
* در بازهٔ $\text{x} > 0$، مقدار $\text{y}$ برابر با $athbf{1}$ است.
* در نقطهٔ $\text{x} = 0$， مقدار $\text{y}$ برابر با $athbf{0}$ است.
* در بازهٔ $\text{x} < 0$， مقدار $\text{y}$ برابر با $athbf{-1}$ است.
برد این تابع فقط شامل سه عدد گسسته است.
$$\mathbf{\text{R}_{\text{f}} = \left\{ -1, 0, 1 \right\}}$$
